超高壓不銹鋼彎管塑性極限載荷的有限元分析
1. 非線性方程組的求解方法
塑性以產生不可恢復的永久變形為主要特征，其應力應變曲線不再呈簡單的線性關系，而是與加載歷史有關。塑性理論一般包括3個主要方面：屈服準則、流動準則和強化準則。
只要確定了構件某點的應力分布和屈服準則，就可以確定是否有塑性發生。ANSYS中涉及的常用屈服準則有3個：Von Mises準則、Hill準則、Drucker-Prager (DP)準則。Von Mises準則是一個比較通用的各向同性準則，尤其適用于金屬材料；Hill準則則考慮了材料的各向異性。DP準則考慮了材料由于屈服而引起的體積膨脹，適用于混凝土、土體等材料。流動準則描述了發生屈服時，塑性應變的方向，即屈服是怎樣發展的。強化準則描述了初始屈服準則隨著塑性應變的增加是怎樣發展的。ANSYS程序中使用了三種強化準則：等向強化、隨動強化和混合強化。
本書研究的材料，屈服準則服從 Von Mises準則，強化準則選擇雙線性各向同性等向強化（BISO)模型。BISO選項需要輸入彈性模量和切線模量兩個參數，對大應變問題分析較佳,圖2-15為BISO模型。
a. 求解器的確定
ANSYS 程序求解通常使用 Newton-Raphson(牛頓－拉普森）平衡迭代，它迫使在每一個載荷增量的末端解達到平衡收斂（在某個容限范圍內）。在每次求解前，NR方法估算出殘差矢量，這個矢量是回復力（對應于單元應力的載荷）和所加載荷的差值。程序然后使用非平衡載荷進行線性求解，且核查收斂性。如果不滿足收斂準則，重新估算非平衡載荷，修改剛度矩陣，獲得新解。持續這種迭代過程直到問題收斂。
另外一種迭代方法－弧長法，弧長方法導致NR平衡迭代沿一段弧收斂，從而即使當正切剛度矩陣的傾斜為零或負值時，也往往阻止發散。NR方法和弧長法以圖形表示在圖2-16中。
NR選項要求在每次求解前估算出單元力和所加荷載的差值，對剛度矩陣進行修正后，進行一次平衡迭代，使在荷載增量的末端解達到平衡收斂，如果不能收斂，程序將拋棄發散的迭代用正切和正割剛度矩陣的加權組合重新開始求解并檢查收斂性，NR方法迭代過程如上圖2-16(a)所示。預測器（Pred)和自動時間步（Autots)是兩個重要的工具，打開它們的好處是，ANSYS可以根據結構對施加荷載的響應情況自動計算每個子步結束時的最優時間步并對求解進行預測，以加速收斂。本書采用程序自動選擇的Newton-Raphson求解器，在求解設置時選擇（NROPT,AUTO)選項。
b. 收斂準則（CNVTOL)
采用程序默認的收斂準則，程序將以VALUE·TOLER的值對力進行收斂檢查。VALUE 的默認值是在所加載荷（或所加位移，Newton-Raphson回復力）的SRSS和MINREF(其缺省為1.0)中，取值較大者。TOLER的缺省值是0.001。
2. 超高壓彎管塑性有限元分析的模型
超高壓不銹鋼彎管的彈塑性有限元模型和其彈性分析完全一致，見圖2-6。所不同的是塑性分析時，考慮到材料的強化和Bauschinger效應，采用雙線性隨動強化模型。彎管的材料為 34CrNi3MoA,其力學性能為：μ=0.28,E=205GPa,c,=800 MPa,σb=950 MPa,E,=10.25GPa.在利用ANSYS軟件進行有限元分析時選擇 BKIN 選項，該選項假定總應力范圍等于屈服應力的2倍，采用Von Mises屈服準則，材料的本構關系如圖2-17所示。
3. 塑性極限載荷的確定方法
對工程結構進行彈塑性計算，往往遇到求解非線形方程邊值問題的困難。準確地給出彈塑性變形過程的數學描述是困難的。對于由理想塑性材料制成的構件或結構，當外載荷達到某一值時，即使載荷不再增加，塑性變形仍可繼續增長，這種狀態稱為極限狀態，而這種狀態所對應的外載荷稱為極限載荷。由于本書研究的彎管所用的材料是雙線性的隨動強化材料，彎管在內側內壁首先屈服后，屈服區域逐漸向外擴展，而隨著載荷的增加，內側內壁將最先達到材料的強度極限，所以，本書以使彎管的危險點的Von Mises屈服應力達到材料的強度極限的內壓為結構的極限載荷。
4. 約束條件及載荷
首先根據本問題的實際定義分析類型為靜力分析，選擇 Static 選項。根據該結構的特點，在內壓作用下，在對稱面上施加對稱約束，在兩個端面上分別施加法向約束。
為了既滿足精度的要求又能快速求解，施加載荷時共有10個載荷步，每個載荷步設置10個子步，同時使用程序自動控制的自動時間分步（AUTOTS),計算時根據ANSYS軟件的特點，自己編制了參數化的前處理程序。
5. 超高壓彎管外直徑對塑性極限載荷的影響
按照第二章的建模方法，取工程上常用的3種不銹鋼彎管外直徑，分別計算了在K和R/D保持不變情況下彎管的塑性極限載荷。其計算結果見表2-2。
從表中數據可知，當K與R/D保持不變，只改變D的大小時，彎管的塑性極限載荷不變，可見超高壓不銹鋼彎管的極限載荷與D無關。因此，在研究受內壓作用下超高壓彎管的極限載荷時，可以固定D的大小，只考慮K和R/D對極限內壓的影響。
6. K與R/D對彎管的極限載荷的影響研究
取外直徑為78mm,徑比K和彎曲半徑R/D不同的25種超高壓彎管進行塑性極限載荷的有限元分析，其計算結果如表2-2所示，根據有限元的計算結果，擬合出了近似計算公式（2-15).將公式（2-15)的計算結果和文獻給出的計算公式（2-13)的計算結果比較發現當 R/D較小時，兩者的誤差較大，由文獻計算的結果偏于保守。主要原因是公式（2-13)把由公式（2-14)中的σ換成σ.而得到，而公式（2-14)是由理想塑性材料得到的，沒有考慮材料的強化和Bauschinger 效應。
圖2-18描繪了R/D一定的情況下，彎管的塑性極限載荷隨徑比K的變化規律，從圖中可以看出，在R/D一定的情況下彎管的極限載荷隨徑比K的增大而增大，且增大的幅度較大。當R/D大于5時彎管的極限載荷已經很接近直管的塑性極限載荷。在K一定的情況下，彎管的塑性極限載荷也隨R/D的增大而增大，并逐漸靠近直管時的極限載荷，但增大的幅度很小。
用最小二乘法對塑性極限載荷關于彎管徑比K的變化關系進行二次曲線擬合，二次曲線形式為：
Pjx=A0+A1×K+A2×K2 （2-15)
可以得到如下的近似計算公式：
R/D=1時：
Pjx=-899.295 4+1055.577×K-155.5833×K2 （2-16)
R/D=2時：
Pjx=-964.9008 +1154.8416×K-174.8456×K2 （2-17)
R/D=3時：
Pjx=-1008.5294+1214.9833×K-188.8487×K2 （2-18)
R/D=4時：
Pjx=-1014.936 1+1 227.044 7×K-191.1358×K2 （2-19)
R/D=5時：
Pjx=-1016.763+1231.8412×K-191.756 2×K2 （2-20)
為了給出一個統一的計算公式，現在考察式（2-16)~(2-20)的系數關于R/D的變化規律。
從圖2-20中可以看出，二次曲線的系數與R/D成單調變化，同樣可以用最小二乘法來對其進行擬合。
A0=-813.1872-98.9672×(R/D)+11.7458×(R/D)2 （2-21)
A1=931.213+143.8215×(R/D)-16.8926×(R/D)2 （2-22)
A2=-129.3999-29.8172×(R/D)+3.4925×(R/D)2（2-23)
這樣彎管的塑性極限載荷的近似計算公式就可以用公式（2-15)來計算。
其中：A0、A1、A2是R/D的函數，由式（2-21)~(2-23)給出。
公式的適用范圍：R/D≤5, 1.2≤K≤2.3,即常用的厚壁彎管。
表2-3中給出了近似公式計算結果和參考文獻的計算結果的相對誤差，
最大的誤差為31%,主要原因是參考公式是直接用材料的強度極限來代替屈服極限而得到，沒有考慮強化材料的實際效果。其相對誤差按下面的計算方法計算：
相對誤差＝公式（2-13)解－近似計算公式解 / 近似計算公式解 ×100%
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